$n$次方程式の「$n-1$次の項」を消すテクニック
ここで解説する「チルンハウス変換」は、3次方程式の解の公式を導くときにも使うテクニックです。
解説を読んだ後、一般式での変形を一度自分の手で実際にやってみて、手が止まるところがなければOK！
3次方程式と2次方程式の場合の具体的な変形も示しているので参考にしてください。
チルンハウス変換とは？
$n$次方程式 $$a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots+a_{n-1}x+a_n=0$$ に対して、
$$x=y-\frac{a_1}{na_0}$$
と置くと$n-1$次の項を消すことができます。
そして、この変換のことを『チルンハウス変換』と言います。
おそらく一番よく使う3次方程式の場合を次で紹介します。
チルンハウス変換を使って3次方程式を変形する
実際に3次方程式の例で見ていきます。$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$このような3次方程式で、$x$を下のように置き換えます。$$x=y-\frac{b}{3a}$$すると…
$$a\left(y-\frac{b}{3a}\right)^3+b\left(y-\frac{b}{3a}\right)^2+c\left(y-\frac{b}{3a}\right)+d=0$$
$$a\left(y^3-\cancel{3\frac{b}{3a}y^2}+3\frac{b^2}{9a^2}y-\frac{b^3}{27a^3}\right)+b\left(\cancel{y^2}-2\frac{b}{3a}y+\frac{b^2}{9a^2}\right)+c\left(y-\frac{b}{3a}\right)+d=0$$
$$ay^3+\left(-\frac{b^2}{3a}+c\right)y+\frac{2b^3}{27a^2}-\frac{bc}{3a}+d=0$$
ここで、$p$と$q$を
$$\begin{eqnarray}
-\frac{b^2}{3a}+c &=& p \\\\
\frac{2b^3}{27a^2}-\frac{bc}{3a}+d &=& q
\end{eqnarray}$$
と置いてやると、
3次方程式の2次の項が消えて少しシンプルな形へと変換されます。
$$ay^3+py+q=0$$
チルンハウス変換を使って2次方程式を変形する
次に、2次方程式も同じように変形してみます。
一般的な2次方程式を考えます。
$$ax^2+bx+c=0$$
ここで、チルンハウス変換の方法に従い下のように$x$を置き換えます。
$$x=y-\frac{b}{2a}$$
すると…
$$\begin{alignedat}{4}
&ax^2&&+bx&&+c&&=0 \\\\
&a\left(y-\frac{b}{2a}\right)^2&&+b\left(y-\frac{b}{2a}\right)&&+c&&=0\\\\
&a\left(y^2-\cancel{\frac{b}{a}y}+\frac{b^2}{4a^2}\right)&&+b\left(\cancel{y}-\frac{b}{2a}\right)&&+c&&=0
\end{alignedat}$$
これを整理すると下のようになるので、1次の項を消すことができていることがわかります。
$$ay^2-\frac{b^2}{4a}+c=0$$
（2次方程式の場合のチルンハウス変換終わり）
まとめ
$n$次方程式の「$n-1$次の項」を消すテクニック、『チルンハウス変換』を解説しました。
3次方程式の解の公式を導出する際など、いくつか応用もきくので知っておきたい式変形です。
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